Wechselspannung

Wechselspannung nennt man eine elektrische Spannung, deren Polarität in regelmäßiger Wiederholung wechselt.

Periode einer sinusförmigen Wechselspannung

Darstellung sinusförmiger Größen

Wird eine Spule in einem Magnetfeld gedreht, ergibt sich der blau eingezeichnete Spannungsverlauf in Sinusform. Bei 90° und bei 270° bewegen sich die Spulenseiten senkrecht zu den Feldlinien und es wird die größtmögliche Spannung induziert. Bei 135° und bei 225° bewegen sich die Leiter schräg zu den Feldlinien und die Schnittgeschwindigkeit wird geringer was zur Folge hat, dass die induzierte Spannung immer geringer wird. Bei 180° bewegen sich die Spulenseiten parallel zu den Feldlinien und es wird zu diesem Zeitpunkt keine Spannung induziert. Die Spulenseiten befinden sich in der "neutralen Zone".

Für die sinusförmige Wechselspannung gilt : $u={\hat {u}}\cdot sin\alpha \;$

• $u\;$ = Momentanwert der Spannung.
• ${\hat {u}}\;$ = Amplitude (Spitzen- oder Scheitelwert) der Spannung.
• $\alpha \;$ = Winkel, der proportional der Zeit $t\;$ ist.

Periodendauer

Nach $\alpha =360^{\circ }=2\cdot \pi \;$ erreicht die sinusförmige Spannung den gleichen Augenblickswert und wiederholt sich fortwährend.

Einen solchen Durchlauf nennt man Periode und die dafür benötigte Zeit Periodendauer.

$T={\frac {1}{f}}\;$

• $f\;$ : Frequenz
• $T\;$ : Periodendauer
• $s\;$ : Sekunde

Frequenz

Die Anzahl der Perioden in einer Sekunde nennt man Frequenz.

Die Frequenz $f\;$ ist der Kehrwert der Periodendauer $T\;$ und wird folgend definiert:

$f={\frac {1}{s}}=Hz$.

Kreisfrequenz

$\omega ={\frac {\alpha }{t}}\;$

Während einer Periodendauer $T\;$ vollzieht der Zeiger eine volle Umdrehung $\left(360^{\circ }\ \mathop {\hat {=}} \ 2\cdot \pi \right)\;$ was zu folgender Formel führt:

$\omega ={\frac {2\cdot \pi }{T}}\;$

Setzt man die Gleichung für die Frequenz ein, erhält man:

$\omega =2\cdot \pi \cdot f\;$

• $\omega \;$ : Kreisfrequenz
• $f\;$ : Frequenz
• $T\;$ : Periodendauer
• $\alpha \;$ = Winkel, der proportional der Zeit $t\;$ ist.

Mittelwerte der Wechselspannung

Arithmetischer Mittelwert (Gleichrichtwert)

Um den arithmetischen Mittelwert einer Spannung zu berechnen, wird die Spannung in sehr viele kleine Momentanwerte zerlegt und die Summe aller Momentanwertebdurch die Anzahl der Summanden dividiert.

$\left|{\bar {u}}\right|={\cfrac {u_{1}+u_{2}+u_{3}+...\ u_{n}}{n}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}u_{n}$

Der arithmetische Mittelwert einer sinusförmigen Wechselspannung wird wie folgt berechnet:

$\left|{\bar {u}}\right|={\cfrac {2\cdot {\hat {u}}}{\pi }}=0,637\cdot {\hat {u}}\;$

Mathematisch exakt lässt sich dies nur mit Hilfe der Integralrechnung lösen

Die Wechselgröße ist eine spezielle periodische Zeitfunktion. Die Norm DIN 5488 besagt, dass eine Wechselgröße vom Augenblickswert x eine periodische Funktion der Zeit mit einem arithmetischen Mittelwert über eine Periode gleich null besitzt. Folgende Formel definiert den arithmetischen Mittelwert über eine Periode:

${\bar {u}}={\cfrac {1}{T}}\int _{t}^{t+T}x\left(t\right)\,dt\;$

Quadratischer Mittelwert

$U^{2}={\cfrac {u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2}+...\ u_{n}^{2}}{n}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}u_{n}^{2}$

Mathematisch exakt lässt sich dies nur mit Hilfe der Integralrechnung lösen

$U^{2}={\cfrac {1}{T}}\int _{t}^{t+T}u^{2}\left(t\right)\,dt\;$

Effektivwert

Der Effektivwert einer Wechselspannung errechnet sich aus der Quadratwurzel des quadratischen Mittelwerts dieser Wechselspannung.

$U_{eff}={\sqrt {{\cfrac {1}{T}}\int _{t}^{t+T}u^{2}\left(t\right)\,dt}}\;$

Der Effektivwert einer sinusförmigen Zeitfunktion kann mit folgender Formel berechnet werden:

$U_{eff}={\cfrac {\hat {u}}{\sqrt {2}}}=0,707\cdot {\hat {u}}\;$

Merksatz

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Der Effektivwert einer Wechselspannung wird berechnet, indem der Scheitelwert mit 0,707 multipliziert wird.

Scheitelfaktor

Das Verhältnis des Scheitelwerts zum Effektivwert ist der Scheitelfaktor.

${\cfrac {\hat {u}}{U}}={\cfrac {\hat {u}}{\cfrac {\hat {u}}{\sqrt {2}}}}={\cfrac {{\hat {u}}\cdot {\sqrt {2}}}{\hat {u}}}={\sqrt {2}}=1,41\;$

Der Scheitelfaktor ist nur bei sinusförmigen Wechselspannungen gleich ${\sqrt {2}}\;$.

Der ‘‘‘Scheitelfaktor wird zum Beispiel bei der Beurteilung der Durchschlagfestigkeit von Isolierstoffen verwendet, da hier nicht die Effektivspannung, sondern der Scheitelwert der Spannung ausschlaggebend ist.

Formfaktor

Das Verhältnis von Effektivwert zu arithmetischen Mittelwert ist der Formfaktor.

${\cfrac {U}{\left|{\hat {u}}\right|}}={\cfrac {\cfrac {\hat {u}}{\sqrt {2}}}{\cfrac {2\cdot {\hat {u}}}{\pi }}}={\cfrac {{\hat {u}}\cdot \pi }{2\cdot {\sqrt {2}}\cdot {\hat {u}}}}={\cfrac {\pi }{2\cdot {\sqrt {2}}}}=1,11\;$

Der Formfaktor ist nur bei sinusförmigen Wechselspannungen gleich 1,11.

Der Formfaktor wird zur Beurteilung von Kurvenformen bei Wechslegrößen verwendet. Ergibt sich ein von 1,11 abweichender Formfaktor ist die Spannung mehr oder weniger verzerrt.

Matlab

Mit folgenden Befehlen wurde mit Hilfe der Software Matlab der Graf einer sinusförmigen Wechselspannung erzeugt.

x = 0:0.001:2*pi
y= 4*sin(x)
plot(x,y)

Siehe auch

• Elektrische Spannung
• Gleichspannung