Quadratische Funktionen

Unter einer quadratischen Funktion versteht man ein Funktion, die in der Form siehe Definition, vorliegt. Es handelt sich hierbei um ein Polynom zweiten Grades.

Definition

Normalform

$f (x) = a x^{2} + b x + c$ mit $a \neq 0$

Scheitelform (auch Scheitelpunktform)

$y = {(x + a)}^{2} + b$

Funktionsgrafen von quadratischen Funktionen

Eine Normalparadbel mit der Funktion $y = x^{2}$ kann in ein Koordinatensystem eingezeichnet werden, indem eine Wertetabelle nach folgendem Beispiel erstellt wird.

	x	y
A	`-3`	`9`
B	`-2`	`4`
C	`-1`	`1`
D	`0`	`0`
E	`1`	`1`
F	`2`	`4`
G	`3`	`9`

Verschiebung von Funktionsgrafen auf der x-Achse

Verschiebt man die Normalparabel $y = x^{2}$ um $- a$ auf der x-Achse, so erhält man $y = {(x + a)}^{2}$ . Der Funktionsgraf von $y = {(x + a)}^{2}$ ist also eine Normalparabel mit dem Scheitelpunkt $(- a; 0)$ . Es hängt nur vom Vorzeichen ab, ob die Parabel nach links, oder nach rechts verschoben wird.

Ist $a$ positiv, so ist $- a$ negativ oder
ist $a$ negativ, so ist $- a$ positiv.

Verschiebung von Funktionsgrafen auf der x- und y-Achse

Liegt eine quadratische Funktion in der Form $y = {(x + a)}^{2} + b$ vor, verschiebt man die Normalparabel um $- a$ entlang der x-Achse und dann um $b$ entlang der y-Achse. Der Scheitelpunkt ist somit durch $(- a; b)$ definiert.

Liegt die Funktion in der Form $y = x^{2} + p x + q$ vor, kann $a$ und $b$ wie folgt ermittelt werden.

$a = \frac{p}{2};$

$b = q - \frac{p^{2}}{4}$

Siehe auch

Weblinks

arndt-bruenner.de Der Scheitelpunkt quadratischer Funktionen.