Quadratische Funktionen

Unter einer quadratischen Funktion versteht man ein Funktion, die in der Form siehe Definition, vorliegt. Es handelt sich hierbei um ein Polynom zweiten Grades.

Definition

Normalform

$f(x)=ax^{2}+bx+c\;$ mit $a\neq 0$

Scheitelform (auch Scheitelpunktform)

$y=\left(x+a\right)^{2}+b\;$

Funktionsgrafen von quadratischen Funktionen

Eine Normalparadbel mit der Funktion $y=x^{2}\;$ kann in ein Koordinatensystem eingezeichnet werden, indem eine Wertetabelle nach folgendem Beispiel erstellt wird.

	x	y
A	`-3`	`9`
B	`-2`	`4`
C	`-1`	`1`
D	`0`	`0`
E	`1`	`1`
F	`2`	`4`
G	`3`	`9`

Verschiebung von Funktionsgrafen auf der x-Achse

Verschiebt man die Normalparabel $y=x^{2}\;$ um $-a\;$ auf der x-Achse, so erhält man $y=\left(x+a\right)^{2}\;$ . Der Funktionsgraf von $y=\left(x+a\right)^{2}\;$ ist also eine Normalparabel mit dem Scheitelpunkt $\left(-a;\ 0\right)\;$ . Es hängt nur vom Vorzeichen ab, ob die Parabel nach links, oder nach rechts verschoben wird.

Ist $a\;$ positiv, so ist $-a\;$ negativ oder
ist $a\;$ negativ, so ist $-a\;$ positiv.

Verschiebung von Funktionsgrafen auf der x- und y-Achse

Liegt eine quadratische Funktion in der Form $y=\left(x+a\right)^{2}+b\;$ vor, verschiebt man die Normalparabel um $-a\;$ entlang der x-Achse und dann um $b\;$ entlang der y-Achse. Der Scheitelpunkt ist somit durch $\left(-a;\ b\right)\;$ definiert.

Liegt die Funktion in der Form $y=x^{2}+px+q\;$ vor, kann $a\;$ und $b\;$ wie folgt ermittelt werden.

$a={\cfrac {p}{2}};$

$b=q-{\cfrac {p^{2}}{4}}\;$

Siehe auch

Weblinks

arndt-bruenner.de Der Scheitelpunkt quadratischer Funktionen.