Formelsammlung Regelungstechnik

Formelsammlung für das Studienfach Regelungstechnik

Übertragungsglieder

Bild	Name	Gleichung im Zeitbereich	Frequenzgangfunktion	Übertragungsfunktion
	P-Glied	Fehler beim Parsen (SVG mit PNG-Fallback (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_a = K_P \cdot x_e\,}	Fehler beim Parsen (SVG mit PNG-Fallback (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F(p) = \cfrac{x_a(p)}{x_e(p)}=K_P\,}	Fehler beim Parsen (SVG mit PNG-Fallback (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G(s) = \cfrac{x_a(s)}{x_e(s)}=K_P\,}
	PT1-Glied	Fehler beim Parsen (SVG mit PNG-Fallback (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T_1 \cdot \cfrac{dx_a}{dt} + x_a = K_P \cdot x_e}	Fehler beim Parsen (SVG mit PNG-Fallback (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F(p) = \cfrac{K_P}{1+T_1p}\,}	Fehler beim Parsen (SVG mit PNG-Fallback (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G(s) = \cfrac{K_P}{1+T_1s}\,}
	PT2-Glied	Fehler beim Parsen (SVG mit PNG-Fallback (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \cfrac{1}{\omega_0^2}\cfrac{d^2x_a}{dt^2}+\cfrac{2D}{\omega_0}\cfrac{dx_a}{dt}+x_a = K_P \cdot x_e}	Fehler beim Parsen (SVG mit PNG-Fallback (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F(p) = \cfrac{K_P}{1 + \cfrac{2D}{\omega_0}p + \cfrac{1}{\omega_0^2}p^2}\,}	Fehler beim Parsen (SVG mit PNG-Fallback (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G(s) = \cfrac{K_P}{1 + \cfrac{2D}{\omega_0}s + \cfrac{1}{\omega_0^2}s^2}\,}
	PTt-Glied	Fehler beim Parsen (SVG mit PNG-Fallback (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_a = K_P \cdot x_e(t-T_t)\,}	Fehler beim Parsen (SVG mit PNG-Fallback (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F(p) = K_P \cdot e^{-pT_1}\,}	Fehler beim Parsen (SVG mit PNG-Fallback (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G(s) = K_P \cdot e^{-sT_1}\,}
	D-Glied	Fehler beim Parsen (SVG mit PNG-Fallback (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_a = K_D \cfrac{dx_e}{dt} \,} Fehler beim Parsen (SVG mit PNG-Fallback (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left[ x_a = T_D \cfrac{dx_e}{dt} \right] \,}	Fehler beim Parsen (SVG mit PNG-Fallback (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F(p) = K_D \cdot p \,} Fehler beim Parsen (SVG mit PNG-Fallback (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left[ F(p) = T_D \cdot p \right] \,}	Fehler beim Parsen (SVG mit PNG-Fallback (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G(s) = K_D \cdot s \,} Fehler beim Parsen (SVG mit PNG-Fallback (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left[ G(s) = T_D \cdot s \right] \,}
	DT1-Glied	Fehler beim Parsen (SVG mit PNG-Fallback (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T_1\cfrac{dx_a}{dt} + x_a = K_D \cfrac{dx_e}{dt}\,}	Fehler beim Parsen (SVG mit PNG-Fallback (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F(p) = \cfrac{K_D \cdot p}{1 + T_1p}\,}	Fehler beim Parsen (SVG mit PNG-Fallback (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G(s) = \cfrac{K_D \cdot s}{1 + T_1s}\,}
	PD-Glied	Fehler beim Parsen (SVG mit PNG-Fallback (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_a = K_P \left[ T_V \cfrac{dx_e}{dt} + x_e \right]\,}	Fehler beim Parsen (SVG mit PNG-Fallback (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F(p) = K_P \left(1 + T_Vp \right)\,}	Fehler beim Parsen (SVG mit PNG-Fallback (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G(s) = K_P \left(1 + T_Vs \right)\,}
	PDT1-Glied	Fehler beim Parsen (SVG mit PNG-Fallback (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T_1\cfrac{dx_a}{dt} + x_a = K_P \left[ T_V \cfrac{dx_e}{dt} + x_e \right]\,} ; Fehler beim Parsen (SVG mit PNG-Fallback (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T_V > T_1\;}	Fehler beim Parsen (SVG mit PNG-Fallback (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F(p) = K_P \cfrac{1 + T_Vp}{1 + T_1p}\,} ; Fehler beim Parsen (SVG mit PNG-Fallback (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T_V > T_1\;}	Fehler beim Parsen (SVG mit PNG-Fallback (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G(s) = K_P \cfrac{1 + T_Vs}{1 + T_1s}\,} ; Fehler beim Parsen (SVG mit PNG-Fallback (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T_V > T_1\;}
	PPT1-Glied	Fehler beim Parsen (SVG mit PNG-Fallback (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T_1\cfrac{dx_a}{dt} + x_a = K_P \left[ T_V \cfrac{dx_e}{dt} + x_e \right]\,} ; Fehler beim Parsen (SVG mit PNG-Fallback (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T_V < T_1\;}	Fehler beim Parsen (SVG mit PNG-Fallback (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F(p) = K_P \cfrac{1 + T_Vp}{1 + T_1p}\,} ; Fehler beim Parsen (SVG mit PNG-Fallback (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T_V < T_1\;}	Fehler beim Parsen (SVG mit PNG-Fallback (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G(s) = K_P \cfrac{1 + T_Vs}{1 + T_1s}\,} ; Fehler beim Parsen (SVG mit PNG-Fallback (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T_V < T_1\;}
	I-Glied	Fehler beim Parsen (SVG mit PNG-Fallback (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_a = K_I \int x_e dt\,} Fehler beim Parsen (SVG mit PNG-Fallback (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left[ x_a = \cfrac{1}{T_I} \int x_e dt \right] \,}	Fehler beim Parsen (SVG mit PNG-Fallback (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F(p) = K_I \cfrac{1}{p}\,} Fehler beim Parsen (SVG mit PNG-Fallback (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left[ F(p) = \cfrac{1}{T_Ip}\right] \,}	Fehler beim Parsen (SVG mit PNG-Fallback (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G(s) = K_I \cfrac{1}{s}\,} Fehler beim Parsen (SVG mit PNG-Fallback (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left[ G(s) = \cfrac{1}{T_Is}\right] \,}
	PI-Glied	Fehler beim Parsen (SVG mit PNG-Fallback (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_a = K_P \left[x_e + \cfrac{1}{T_N} \int x_e dt \right]\,}	Fehler beim Parsen (SVG mit PNG-Fallback (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F(p) = K_P \left[ 1 + \cfrac{1}{T_Np} \right] = K_P \cfrac{1+T_Np}{T_Np}\,}	Fehler beim Parsen (SVG mit PNG-Fallback (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G(s) = K_P \left[ 1 + \cfrac{1}{T_Ns} \right] = K_P \cfrac{1+T_Ns}{T_Ns}\,}
	PID-Glied	Fehler beim Parsen (SVG mit PNG-Fallback (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_a = K_P \left[x_e + \cfrac{1}{T_N} \int x_e dt + T_V \cfrac{dx_e}{dt}\right]\,}	Fehler beim Parsen (SVG mit PNG-Fallback (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F(p) = K_P \left[ 1 + \cfrac{1}{T_Np} + T_Vp\right]\,}	Fehler beim Parsen (SVG mit PNG-Fallback (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G(s) = K_P \left[ 1 + \cfrac{1}{T_Ns} + T_Vs\right]\,}
	PIDT1-Glied	Fehler beim Parsen (SVG mit PNG-Fallback (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T_1 \cfrac{x_a}{dt} + x_a = \,} Fehler beim Parsen (SVG mit PNG-Fallback (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K_P \left[\cfrac{T_1 + T_N}{T_N}x_e + \cfrac{1}{T_N} \int x_e dt + (T_1 + T_V) \cfrac{dx_e}{dt}\right]\,}	$F(p)=K_{P}\left[1+{\cfrac {1}{T_{N}p}}+{\cfrac {T_{V}p}{1+T_{1}p}}\right]\,$	$G(s)=K_{P}\left[1+{\cfrac {1}{T_{N}s}}+{\cfrac {T_{V}s}{1+T_{1}s}}\right]\,$

Stabilität von Regelkreisen

Stabilitätskriterien

Nyquist-Kriterium

Haben die Pole des offenen Kreises negative Realanteile und liegen höchstens zwei Pole bei $p=0\;$, dann ist der geschlossene Kreis stabil, wenn die Ortskurve $F_{0}(j\omega )\;$ den kritischen Punkt (-1, j0) weder umschließt noch durchdringt, d.h., wenn der kritische Punkt links der Ortskurve liegt.

Kompensationsreglerentwurf

PT1-Strecke

$G_{S}(s)={\frac {K_{P}}{1+T_{S}\cdot s}}$

Der passende Regler nach dem Kompensationsverfahren ist der PI-Regler.

$G_{R}(s)=K_{P}\cdot {\frac {1+T_{N}S}{T_{N}\cdot s}}$

PT2-Strecke

$G_{S}(s)={\frac {K_{P}}{1+2D_{S}T_{S}s+T_{S}^{2}s^{2}}}$

Der passende Regler nach dem Kompensationsverfahren ist der PID-Regler.

$G_{R}(s)=K_{P}\cdot {\frac {1+T_{N}s+T_{N}T_{V}s^{2}}{T_{N}\cdot s}}$

IT1-Strecke

$G_{S}(s)={\frac {1}{1+T_{S}s}}\cdot {\frac {K_{I}}{s}}$

Der passende Regler nach dem Kompensationsverfahren ist der PD-Regler.

$G_{S}(s)=K_{P}(1+T_{V}s)\,$

I-Strecke

$G_{S}(s)={\frac {K_{I}}{s}}$

Der passende Regler nach dem Kompensationsverfahren ist der P-Regler.

$G_{R}(s)=K_{P}\,$