Formelsammlung Regelungstechnik

Formelsammlung für das Studienfach Regelungstechnik

Übertragungsglieder

Bild	Name	Gleichung im Zeitbereich	Frequenzgangfunktion	Übertragungsfunktion
	P-Glied	$x_a=K_P\cdot x_e$	$F(p)=\frac{x_a(p)}{x_e(p)}=K_P$	$G(s)=\frac{x_a(s)}{x_e(s)}=K_P$
	PT1-Glied	$T_1\cdot \frac{d{x}_a}{dt}+x_a=K_P\cdot x_e$	$F(p)=\frac{K_P}{1+T_{1}p}$	$G(s)=\frac{K_P}{1+T_{1}s}$
	PT2-Glied	$\frac{1}{{\omega }_0^2}\frac{d^2{x}_a}{d{t}^2}+\frac{2D}{{\omega }_0}\frac{d{x}_a}{dt}+x_a=K_P\cdot x_e$	$F(p)=\frac{K_P}{1+\frac{2D}{{\omega }_0}p+\frac{1}{{\omega }_0^2}{p}^2}$	$G(s)=\frac{K_P}{1+\frac{2D}{{\omega }_0}s+\frac{1}{{\omega }_0^2}{s}^2}$
	PTt-Glied	$x_a=K_P\cdot x_e(t-T_t)$	$F(p)=K_P\cdot e^{-p{T}_1}$	$G(s)=K_P\cdot e^{-s{T}_1}$
	D-Glied	$x_a=K_D\frac{d{x}_e}{dt}$ $[x_a=T_D\frac{d{x}_e}{dt}]$	$F(p)=K_D\cdot p$ $[F(p)=T_D\cdot p]$	$G(s)=K_D\cdot s$ $[G(s)=T_D\cdot s]$
	DT1-Glied	$T_1\frac{d{x}_a}{dt}+x_a=K_D\frac{d{x}_e}{dt}$	$F(p)=\frac{K_D\cdot p}{1+T_{1}p}$	$G(s)=\frac{K_D\cdot s}{1+T_{1}s}$
	PD-Glied	$x_a=K_P[T_V\frac{d{x}_e}{dt}+x_e]$	$F(p)=K_P(1+T_{V}p)$	$G(s)=K_P(1+T_{V}s)$
	PDT1-Glied	$T_1\frac{d{x}_a}{dt}+x_a=K_P[T_V\frac{d{x}_e}{dt}+x_e]$; $T_V>T_1$	$F(p)=K_P\frac{1+T_{V}p}{1+T_{1}p}$; $T_V>T_1$	$G(s)=K_P\frac{1+T_{V}s}{1+T_{1}s}$; $T_V>T_1$
	PPT1-Glied	$T_1\frac{d{x}_a}{dt}+x_a=K_P[T_V\frac{d{x}_e}{dt}+x_e]$; $T_V<T_1$	$F(p)=K_P\frac{1+T_{V}p}{1+T_{1}p}$; $T_V<T_1$	$G(s)=K_P\frac{1+T_{V}s}{1+T_{1}s}$; $T_V<T_1$
	I-Glied	$x_a=K_I\int x_{e}dt$ $[x_a=\frac{1}{T_I}\int x_{e}dt]$	$F(p)=K_I\frac{1}{p}$ $[F(p)=\frac{1}{T_{I}p}]$	$G(s)=K_I\frac{1}{s}$ $[G(s)=\frac{1}{T_{I}s}]$
	PI-Glied	$x_a=K_P[x_e+\frac{1}{T_N}\int x_{e}dt]$	$F(p)=K_P[1+\frac{1}{T_{N}p}]=K_P\frac{1+T_{N}p}{T_{N}p}$	$G(s)=K_P[1+\frac{1}{T_{N}s}]=K_P\frac{1+T_{N}s}{T_{N}s}$
	PID-Glied	$x_a=K_P[x_e+\frac{1}{T_N}\int x_{e}dt+T_V\frac{d{x}_e}{dt}]$	$F(p)=K_P[1+\frac{1}{T_{N}p}+T_{V}p]$	$G(s)=K_P[1+\frac{1}{T_{N}s}+T_{V}s]$
	PIDT1-Glied	$T_1\frac{x_a}{dt}+x_a=$ $K_P[\frac{T_1+T_N}{T_N}{x}_e+\frac{1}{T_N}\int x_{e}dt+(T_1+T_V)\frac{d{x}_e}{dt}]$	$F(p)=K_P[1+\frac{1}{T_{N}p}+\frac{T_{V}p}{1+T_{1}p}]$	$G(s)=K_P[1+\frac{1}{T_{N}s}+\frac{T_{V}s}{1+T_{1}s}]$

Stabilität von Regelkreisen

Stabilitätskriterien

Nyquist-Kriterium

Haben die Pole des offenen Kreises negative Realanteile und liegen höchstens zwei Pole bei $p=0$, dann ist der geschlossene Kreis stabil, wenn die Ortskurve $F_0(j\omega )$ den kritischen Punkt (-1, j0) weder umschließt noch durchdringt, d.h., wenn der kritische Punkt links der Ortskurve liegt.

Kompensationsreglerentwurf

PT1-Strecke

$G_S(s)=\frac{K_P}{1+T_S\cdot s}$

Der passende Regler nach dem Kompensationsverfahren ist der PI-Regler.

$G_R(s)=K_P\cdot \frac{1+T_{N}S}{T_N\cdot s}$

PT2-Strecke

$G_S(s)=\frac{K_P}{1+2D_S{T}_{S}s+T_S^2{s}^2}$

Der passende Regler nach dem Kompensationsverfahren ist der PID-Regler.

$G_R(s)=K_P\cdot \frac{1+T_{N}s+T_N{T}_V{s}^2}{T_N\cdot s}$

IT1-Strecke

$G_S(s)=\frac{1}{1+T_{S}s}\cdot \frac{K_I}{s}$

Der passende Regler nach dem Kompensationsverfahren ist der PD-Regler.

$G_S(s)=K_P(1+T_{V}s)$

I-Strecke

$G_S(s)=\frac{K_I}{s}$

Der passende Regler nach dem Kompensationsverfahren ist der P-Regler.

$G_R(s)=K_P$