Formelsammlung Regelungstechnik

Formelsammlung für das Studienfach Regelungstechnik

Übertragungsglieder

Bild	Name	Gleichung im Zeitbereich	Frequenzgangfunktion	Übertragungsfunktion
	P-Glied	$x_{a}=K_{P}\cdot x_{e}\,$	$F(p)={\cfrac {x_{a}(p)}{x_{e}(p)}}=K_{P}\,$	$G(s)={\cfrac {x_{a}(s)}{x_{e}(s)}}=K_{P}\,$
	PT1-Glied	$T_{1}\cdot {\cfrac {dx_{a}}{dt}}+x_{a}=K_{P}\cdot x_{e}$	$F(p)={\cfrac {K_{P}}{1+T_{1}p}}\,$	$G(s)={\cfrac {K_{P}}{1+T_{1}s}}\,$
	PT2-Glied	${\cfrac {1}{\omega _{0}^{2}}}{\cfrac {d^{2}x_{a}}{dt^{2}}}+{\cfrac {2D}{\omega _{0}}}{\cfrac {dx_{a}}{dt}}+x_{a}=K_{P}\cdot x_{e}$	$F(p)={\cfrac {K_{P}}{1+{\cfrac {2D}{\omega _{0}}}p+{\cfrac {1}{\omega _{0}^{2}}}p^{2}}}\,$	$G(s)={\cfrac {K_{P}}{1+{\cfrac {2D}{\omega _{0}}}s+{\cfrac {1}{\omega _{0}^{2}}}s^{2}}}\,$
	PTt-Glied	$x_{a}=K_{P}\cdot x_{e}(t-T_{t})\,$	$F(p)=K_{P}\cdot e^{-pT_{1}}\,$	$G(s)=K_{P}\cdot e^{-sT_{1}}\,$
	D-Glied	$x_{a}=K_{D}{\cfrac {dx_{e}}{dt}}\,$ $\left[x_{a}=T_{D}{\cfrac {dx_{e}}{dt}}\right]\,$	$F(p)=K_{D}\cdot p\,$ $\left[F(p)=T_{D}\cdot p\right]\,$	$G(s)=K_{D}\cdot s\,$ $\left[G(s)=T_{D}\cdot s\right]\,$
	DT1-Glied	$T_{1}{\cfrac {dx_{a}}{dt}}+x_{a}=K_{D}{\cfrac {dx_{e}}{dt}}\,$	$F(p)={\cfrac {K_{D}\cdot p}{1+T_{1}p}}\,$	$G(s)={\cfrac {K_{D}\cdot s}{1+T_{1}s}}\,$
	PD-Glied	$x_{a}=K_{P}\left[T_{V}{\cfrac {dx_{e}}{dt}}+x_{e}\right]\,$	$F(p)=K_{P}\left(1+T_{V}p\right)\,$	$G(s)=K_{P}\left(1+T_{V}s\right)\,$
	PDT1-Glied	$T_{1}{\cfrac {dx_{a}}{dt}}+x_{a}=K_{P}\left[T_{V}{\cfrac {dx_{e}}{dt}}+x_{e}\right]\,$; $T_{V}>T_{1}\;$	$F(p)=K_{P}{\cfrac {1+T_{V}p}{1+T_{1}p}}\,$; $T_{V}>T_{1}\;$	$G(s)=K_{P}{\cfrac {1+T_{V}s}{1+T_{1}s}}\,$; $T_{V}>T_{1}\;$
	PPT1-Glied	$T_{1}{\cfrac {dx_{a}}{dt}}+x_{a}=K_{P}\left[T_{V}{\cfrac {dx_{e}}{dt}}+x_{e}\right]\,$; $T_{V}<T_{1}\;$	$F(p)=K_{P}{\cfrac {1+T_{V}p}{1+T_{1}p}}\,$; $T_{V}<T_{1}\;$	$G(s)=K_{P}{\cfrac {1+T_{V}s}{1+T_{1}s}}\,$; $T_{V}<T_{1}\;$
	I-Glied	$x_{a}=K_{I}\int x_{e}dt\,$ $\left[x_{a}={\cfrac {1}{T_{I}}}\int x_{e}dt\right]\,$	$F(p)=K_{I}{\cfrac {1}{p}}\,$ $\left[F(p)={\cfrac {1}{T_{I}p}}\right]\,$	$G(s)=K_{I}{\cfrac {1}{s}}\,$ $\left[G(s)={\cfrac {1}{T_{I}s}}\right]\,$
	PI-Glied	$x_{a}=K_{P}\left[x_{e}+{\cfrac {1}{T_{N}}}\int x_{e}dt\right]\,$	$F(p)=K_{P}\left[1+{\cfrac {1}{T_{N}p}}\right]=K_{P}{\cfrac {1+T_{N}p}{T_{N}p}}\,$	$G(s)=K_{P}\left[1+{\cfrac {1}{T_{N}s}}\right]=K_{P}{\cfrac {1+T_{N}s}{T_{N}s}}\,$
	PID-Glied	$x_{a}=K_{P}\left[x_{e}+{\cfrac {1}{T_{N}}}\int x_{e}dt+T_{V}{\cfrac {dx_{e}}{dt}}\right]\,$	$F(p)=K_{P}\left[1+{\cfrac {1}{T_{N}p}}+T_{V}p\right]\,$	$G(s)=K_{P}\left[1+{\cfrac {1}{T_{N}s}}+T_{V}s\right]\,$
	PIDT1-Glied	$T_{1}{\cfrac {x_{a}}{dt}}+x_{a}=\,$ $K_{P}\left[{\cfrac {T_{1}+T_{N}}{T_{N}}}x_{e}+{\cfrac {1}{T_{N}}}\int x_{e}dt+(T_{1}+T_{V}){\cfrac {dx_{e}}{dt}}\right]\,$	$F(p)=K_{P}\left[1+{\cfrac {1}{T_{N}p}}+{\cfrac {T_{V}p}{1+T_{1}p}}\right]\,$	$G(s)=K_{P}\left[1+{\cfrac {1}{T_{N}s}}+{\cfrac {T_{V}s}{1+T_{1}s}}\right]\,$

Stabilität von Regelkreisen

Stabilitätskriterien

Nyquist-Kriterium

Haben die Pole des offenen Kreises negative Realanteile und liegen höchstens zwei Pole bei $p=0\;$, dann ist der geschlossene Kreis stabil, wenn die Ortskurve $F_{0}(j\omega )\;$ den kritischen Punkt (-1, j0) weder umschließt noch durchdringt, d.h., wenn der kritische Punkt links der Ortskurve liegt.

Kompensationsreglerentwurf

PT1-Strecke

$G_{S}(s)={\frac {K_{P}}{1+T_{S}\cdot s}}$

Der passende Regler nach dem Kompensationsverfahren ist der PI-Regler.

$G_{R}(s)=K_{P}\cdot {\frac {1+T_{N}S}{T_{N}\cdot s}}$

PT2-Strecke

$G_{S}(s)={\frac {K_{P}}{1+2D_{S}T_{S}s+T_{S}^{2}s^{2}}}$

Der passende Regler nach dem Kompensationsverfahren ist der PID-Regler.

$G_{R}(s)=K_{P}\cdot {\frac {1+T_{N}s+T_{N}T_{V}s^{2}}{T_{N}\cdot s}}$

IT1-Strecke

$G_{S}(s)={\frac {1}{1+T_{S}s}}\cdot {\frac {K_{I}}{s}}$

Der passende Regler nach dem Kompensationsverfahren ist der PD-Regler.

$G_{S}(s)=K_{P}(1+T_{V}s)\,$

I-Strecke

$G_{S}(s)={\frac {K_{I}}{s}}$

Der passende Regler nach dem Kompensationsverfahren ist der P-Regler.

$G_{R}(s)=K_{P}\,$