Formelsammlung Regelungstechnik

Formelsammlung für das Studienfach Regelungstechnik

Übertragungsglieder

Bild	Name	Gleichung im Zeitbereich	Frequenzgangfunktion	Übertragungsfunktion
	P-Glied	$x_{a} = K_{P} \cdot x_{e}$	$F (p) = \frac{x_{a} (p)}{x_{e} (p)} = K_{P}$	$G (s) = \frac{x_{a} (s)}{x_{e} (s)} = K_{P}$
	PT1-Glied	$T_{1} \cdot \frac{d x_{a}}{d t} + x_{a} = K_{P} \cdot x_{e}$	$F (p) = \frac{K_{P}}{1 + T_{1} p}$	$G (s) = \frac{K_{P}}{1 + T_{1} s}$
	PT2-Glied	$\frac{1}{ω_{0}^{2}} \frac{d^{2} x_{a}}{d t^{2}} + \frac{2 D}{ω_{0}} \frac{d x_{a}}{d t} + x_{a} = K_{P} \cdot x_{e}$	$F (p) = \frac{K_{P}}{1 + \frac{2 D}{ω_{0}} p + \frac{1}{ω_{0}^{2}} p^{2}}$	$G (s) = \frac{K_{P}}{1 + \frac{2 D}{ω_{0}} s + \frac{1}{ω_{0}^{2}} s^{2}}$
	PTt-Glied	$x_{a} = K_{P} \cdot x_{e} (t - T_{t})$	$F (p) = K_{P} \cdot e^{- p T_{1}}$	$G (s) = K_{P} \cdot e^{- s T_{1}}$
	D-Glied	$x_{a} = K_{D} \frac{d x_{e}}{d t}$ $[x_{a} = T_{D} \frac{d x_{e}}{d t}]$	$F (p) = K_{D} \cdot p$ $[F (p) = T_{D} \cdot p]$	$G (s) = K_{D} \cdot s$ $[G (s) = T_{D} \cdot s]$
	DT1-Glied	$T_{1} \frac{d x_{a}}{d t} + x_{a} = K_{D} \frac{d x_{e}}{d t}$	$F (p) = \frac{K_{D} \cdot p}{1 + T_{1} p}$	$G (s) = \frac{K_{D} \cdot s}{1 + T_{1} s}$
	PD-Glied	$x_{a} = K_{P} [T_{V} \frac{d x_{e}}{d t} + x_{e}]$	$F (p) = K_{P} (1 + T_{V} p)$	$G (s) = K_{P} (1 + T_{V} s)$
	PDT1-Glied	$T_{1} \frac{d x_{a}}{d t} + x_{a} = K_{P} [T_{V} \frac{d x_{e}}{d t} + x_{e}]$ ; $T_{V} > T_{1}$	$F (p) = K_{P} \frac{1 + T_{V} p}{1 + T_{1} p}$ ; $T_{V} > T_{1}$	$G (s) = K_{P} \frac{1 + T_{V} s}{1 + T_{1} s}$ ; $T_{V} > T_{1}$
	PPT1-Glied	$T_{1} \frac{d x_{a}}{d t} + x_{a} = K_{P} [T_{V} \frac{d x_{e}}{d t} + x_{e}]$ ; $T_{V} < T_{1}$	$F (p) = K_{P} \frac{1 + T_{V} p}{1 + T_{1} p}$ ; $T_{V} < T_{1}$	$G (s) = K_{P} \frac{1 + T_{V} s}{1 + T_{1} s}$ ; $T_{V} < T_{1}$
	I-Glied	$x_{a} = K_{I} \int x_{e} d t$ $[x_{a} = \frac{1}{T_{I}} \int x_{e} d t]$	$F (p) = K_{I} \frac{1}{p}$ $[F (p) = \frac{1}{T_{I} p}]$	$G (s) = K_{I} \frac{1}{s}$ $[G (s) = \frac{1}{T_{I} s}]$
	PI-Glied	$x_{a} = K_{P} [x_{e} + \frac{1}{T_{N}} \int x_{e} d t]$	$F (p) = K_{P} [1 + \frac{1}{T_{N} p}] = K_{P} \frac{1 + T_{N} p}{T_{N} p}$	$G (s) = K_{P} [1 + \frac{1}{T_{N} s}] = K_{P} \frac{1 + T_{N} s}{T_{N} s}$
	PID-Glied	$x_{a} = K_{P} [x_{e} + \frac{1}{T_{N}} \int x_{e} d t + T_{V} \frac{d x_{e}}{d t}]$	$F (p) = K_{P} [1 + \frac{1}{T_{N} p} + T_{V} p]$	$G (s) = K_{P} [1 + \frac{1}{T_{N} s} + T_{V} s]$
	PIDT1-Glied	$T_{1} \frac{x_{a}}{d t} + x_{a} =$ $K_{P} [\frac{T_{1} + T_{N}}{T_{N}} x_{e} + \frac{1}{T_{N}} \int x_{e} d t + (T_{1} + T_{V}) \frac{d x_{e}}{d t}]$	$F (p) = K_{P} [1 + \frac{1}{T_{N} p} + \frac{T_{V} p}{1 + T_{1} p}]$	$G (s) = K_{P} [1 + \frac{1}{T_{N} s} + \frac{T_{V} s}{1 + T_{1} s}]$

Stabilität von Regelkreisen

Stabilitätskriterien

Haben die Pole des offenen Kreises negative Realanteile und liegen höchstens zwei Pole bei $p = 0$ , dann ist der geschlossene Kreis stabil, wenn die Ortskurve $F_{0} (j ω)$ den kritischen Punkt (-1, j0) weder umschließt noch durchdringt, d.h., wenn der kritische Punkt links der Ortskurve liegt.

Routh-Kriterium

Kompensationsreglerentwurf

PT1-Strecke

$G_{S} (s) = \frac{K_{P}}{1 + T_{S} \cdot s}$

Der passende Regler nach dem Kompensationsverfahren ist der PI-Regler.

$G_{R} (s) = K_{P} \cdot \frac{1 + T_{N} S}{T_{N} \cdot s}$

PT2-Strecke

$G_{S} (s) = \frac{K_{P}}{1 + 2 D_{S} T_{S} s + T_{S}^{2} s^{2}}$

Der passende Regler nach dem Kompensationsverfahren ist der PID-Regler.

$G_{R} (s) = K_{P} \cdot \frac{1 + T_{N} s + T_{N} T_{V} s^{2}}{T_{N} \cdot s}$

IT1-Strecke

$G_{S} (s) = \frac{1}{1 + T_{S} s} \cdot \frac{K_{I}}{s}$

Der passende Regler nach dem Kompensationsverfahren ist der PD-Regler.

$G_{S} (s) = K_{P} (1 + T_{V} s)$

I-Strecke

$G_{S} (s) = \frac{K_{I}}{s}$

Der passende Regler nach dem Kompensationsverfahren ist der P-Regler.

$G_{R} (s) = K_{P}$

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